α

a

b

S

Vepište\ danému\ rovnoběžníku\ ABCD\ čtverec\ XYUV\ tak,\
aby\ na\ každé\ straně\ rovnoběžníku\ ležel\ jeden\ vrchol\ čtverce.

krok

zpět

Střed\ čtverce\ splývá\ se\ středem\ rovnoběžníku:\
Přípusťme,\ že\ střed\ O\ rovnoběžníku\ je\ od\ středu\ S\ čtverce\ různý.\
Pak\ ve\ středové\ souměrnosti\ podle\ středu\ O\ přejde\ bod\ U\ do\ bodu\ U'\in AB.\
AB\ ∥\ SO,\ SO\ je\ střední\ příčka\ \Delta XUU'\
Takže\ v\ souměrnosti\ podle\ středu\ O\ přejde\ bod\ Y\ do\ bodu\ Y' \in AD\
 a \ přímka\ SO∥AD,\ SO\ je\ střední\ příčka\ \Delta YY'V.\
Což\ nemůže\ nastat \Rightarrow S=O.\

Pokud\ body\ □, leží\ pokaždé\ na\ jiné\ straně\ rovnoběžníku,\ přičemž\ středy \
obou\ objektů\ splývají,\ musí\ platit,\ že\ např.\ bod\ X\ se\ zobrazí\ na\ bod\ Y\ resp.\ V\ v \ rotaci\ 
R(S,90°).\
\ Hledané\ body\ □\ proto\ budeme\ hledat,\ jako\ průsečík\ úseček\
|A'B'|\ a\ |BC|\ resp.\ |AD|,\ kde\ |A'B'|=R(S,90°).

řešení (bez postupu)

Získáváme\ vrcholy\ □\ XYUV.

Důkaz splývání středů

Ověření, že čtverec je čtverec

střed

vynuluj

udělej

 \textbf{BÚNO}\ a>b\
i)\ \underbrace{\left(α=90°\right)∧\left(a=b\right)}_{\infty\ mnoho\ řešení}\
ii)\underbrace{\left(α=90°)∧\left(a≠b\right)}_{nemá\ řešení}\
iii)\underbrace{\left(α≠90°\right)∧(a=b)}_{vždy\ \exists!\ řešení}\
iv)\underbrace{(α≠90°)∧(a≠b)}_{∃!\ řešení\ ⇔\ a- b\cdot\cos\alpha\ <\ b\cdot\sin\alpha}

velikost čtyřúhelníku

diskuze

Všechny\ vrcholy\ čtverce\ leží\ na\ jedné\ kružnici.

Řešení\ neexistuje,\ prože\ není\ splněna\ ani\ jedna\ podmínka\ diskuze.

Do\ obdélníku\ nelze\ daným\ způsobem\ vepsat\ čtverec.

β

Do\ čtverce\ lze\ daným\ způsobem\ vepsat\ nekonečně\ mnoho\ čtverců\
(bod\ F\ je\ pohyblivý\ -\ vyzkoušejte\ sami
)

a = 4.7 (slider from 0.1 to 7, step 0.05)
b = 4.4 (slider from 0.1 to 7, step 0.05)
α = 1.7802358370342162 rad (slider from ° to 179°, step 0.017453292519943295)
A = (3.46284026478616, 2.1574383802726342)
B = Point(Circle[A, a])
c = Segment(A, B)
B' = Rotate(B, α, A)
β = Angle(B, A, B')
A' = Rotate(A, (-(180° - α)), B)
γ = Angle(A', B, A)
d = Ray(B, A')
e = Circle(B, b)
C = Intersect(e, d, 1)
f = Line(C, c)
g = Line(A, d)
D = Intersect(f, g)
mnohoúhelník1, a_1, b_1, c_1, d_1 = Polygon(A, B, C, D)
h = Segment(A, C)
i = Segment(D, B)
E = Intersect(h, i)
B'_1 = Rotate(B, 90°, E)
C' = Rotate(C, 90°, E)
D' = Rotate(D, 90°, E)
A'_1 = Rotate(A, 90°, E)
mnohoúhelník2, a'_1, b'_1, c', d' = Polygon(A'_1, B'_1, C', D')
j: h / i
k: tan(α)
X = Intersect(a_1, d')
Y = Intersect(b_1, a'_1)
U = Intersect(c_1, b'_1)
V = Intersect(d_1, c')
p = Circle(Y, U, V)
mnohoúhelník3, g_1, h_1, i_1, f_1 = Polygon(Y, U, V, X)
m = 0 (slider from 0 to 50, step 1)
u = 0.7 (slider from -5 to 5, step 0.1)
l = false
n = false
o = true
q = false
r(x, y, z) = ((x * y) * z)
s(x, y, z) = ((x * y) * z)
t: sqrt(((a * a) + (b * b) - (((2 * a) * b) * cos(α))) / 2)
v = true
w = false
Φ: 180° - α
text8: "β=" + Φ + ""
δ = Angle(C, B, A)
F = Point(d_1)
F' = Mirror(F, E)
j_1 = LineBisector(F, F')
G = Intersect(j_1, c_1)
H = Intersect(j_1, a_1)
mnohoúhelník4, f_2, g_2, f', h_2 = Polygon(F, G, F', H)